Wie die Zahl 73 zur besten Zahl der Welt wurde?

Im Magazin der "Mathematiker-Vereinigung von Amerika" (Mathematical Association of America) haben zwei Wissenschaftler, Carl Pomerance und Chris Spicer, sich intensiv mit der TV-Serie "Big Bang Theory" und deren Hauptfigur Sheldon Lee Cooper Ph.D., Sc.D. (gespielt von Jim Parsons) beschäftigt. Genauer gesagt mit einer Behauptung von ihm in der 73. Folge der Serie, dass die Zahl 73 die beste Zahl der Welt sei.

Seine Erklärung, die mathematisch scheinbar richtig ist, aber noch nicht die Detailgenauigkeit im  Ergebnis der beiden Mathematiker in der Analyse hat, lautete in kurzen Zügen: Die Zahl 73 ist die 21. Primzahl, ihre Zahlenspiegelung 37 ist die 12. Primzahl, wobei die Spiegelung von 12 wiederum 21 ergibt. Und 21 ist auch das Produkt der Multiplikation von 7 x 3, also den beiden Ziffern in der besten Zahl der Welt.

Dazu kommt noch, dass die Zahl 73 im Binärcode ein Zahlenpalindrom ist, also vorwärts und rückwärts identisch ist. In Binärcode ist die Zahl 73 nämlich 1001001, also rückwärts auch 1001001. Dass diese Zahl tatsächlich die einzige Zahl mit diesen Eigenschaften sei, wollen also die beiden Wissenschaflter nachgewiesen haben und sie haben ihre Erkenntnisse in der Publikation "Amercina Mathematical Monthly" veröffentlicht, auf 11 Seiten (PDF) ist das Dokument hier auch nachzulesen in englisch mit zahlreichen Formeln.

Was kann 73 noch?

Dass auch Techniker und Programmierer von solchen Dingen fasziniert sind ist klar. Aber 73 kann noch mehr und hat tatsächlich das Potential die 42 als Sinn des Lebens ¹⁾ (und damit bisher wohl die Standardantwort auf die Frage nach der besten Zahl der Welt) abzulösen.

Oktal, Morsecode, Hexadezimal...

Aber auch in anderen Systemen hat die Dezimalzahl 73 noch besondere Eigenschaften, wie wir hier erläutern möchten.

73 im Oktalen System: 111

Auch im Oktalen Zahlensystem ist die 73 ein Palindrom, weil sie als 111 geschrieben wird, das natürlich auch rückwärts 111 geschrieben wird.

73 als Morsecode

Weniger mathematisch wird es dann bei der Betrachtung der Zahl als Morsecode. Weniger mathematisch deshalb, weil der Code ja nicht einem naturwissenschaftlichen Gesetz gehorcht, sondern von Menschen erfunden wurde. Trotzdem, die 73 als Morsecode... voilá:

– – • • •   • • • – –

Beim ersten Hinsehen schon, ist klar: Das ist auch ein Morsecode-Palindrom, weil auch der Morsecode von 73 rückwärts geschrieben identisch ist wie in der Vorwärtsschreibung. 

73 im Hexadezimal-System

Dieses hat für uns als Webentwickler natürlich eine besondere Bedeutung denn zwischen 00 und FF liegt die aus der IT bekannte Spanne von 256 Werten, also genauer gesagt 8 Bit oder 1 Byte (2 hoch 8) in Nullen und Einsen, deshalb sind auch Farb-Definitionen in HTML und CSS üblicherweise im Hexadezimalcode gemacht, weil sie für die Monitorfarben Rot, Grün und Blau die jeweilige Werte zwischen 00 und FF auf 2 Stellen angeben und somit #000000 schwarz und #FFFFFF weiß ergibt.

Zurück zur Zahl 73 im Hexadezimalsystem... Erinnere man sich an die Primzahlen bzw. an die Tatsache, dass 73 die 21. Primzahl und ihre Spiegelung 37 die 12. Primzahl ist. 73 ergibt in Hexadezimal geschrieben den Wert 49. Und 49 ist genau um 12 höher als die 12. Primzahl 37. Die Spiegelung der Hexadezimalzahl 49, also 94 ist um 21 höher als die 21. Primzahl 73.

Primzahlen - 73 ist die beste Zahl der Welt

Die Zahl 73 ist in vieler Hinsicht eine Top-Zahl: Unter anderem deshalb, weil das Palindrom von 73 also 37 auch eine Primzahl ist. Und diese beiden Primzahlen scheinen nahezu perfekt zu korrespondieren. Die Division einer Primzahl, wie in dem Fall der besten Zahl der Welt, durch ihr eigenes Palindrom - unter der Voraussetzung, dass das Palindrom ebenfalls eine Primzahl ist, kann bekannlich nie 2 ergeben, da es sonst keine Primzahl mehr wäre, weil es dann ja eine Zahl wäre, die zusätzlich zu sich selbst und eins auch durch zwei teilbar wäre. Wenn wir uns aber alle Primzahlen ansehen, deren Palindrom ebenfalls eine Primzahl ist, wir haben das jetzt einmal mit den Primzahlen bis 10.000 gemacht, dann ergibt sich noch eine interessante Erkenntnis.

Division der Primzahl durch das Palindrom der Primzahl

Dividiert man die größere Primzahl durch ihr gleiches oder kleineres Palindrom, so ist die Paarung 73 und 37 mit dem Ergebnis am Nächsten von allen Primzahlenpalindromen an der ersten Primzahl, der 2, am nähesten dran. Da streng genommen auch einstellige Ziffern Palindrome sind, weil sie rückwärts gelesen eben auch Primzahlen sind, berücksichtigen wir diese hier mit. Sie sind allerdings sinnlos, denn eine Division der einstelligen Primzahl durch sich selbst muss zwingend das Ergebnis 1 ergeben. Trotzdem, der vollständigkeit halber und um auch hier zu zeigen, dass 73 und 37 wirklich besonders sind, machen wir das mal vollständig.

Zwischenbemerkung: Primzahlen, deren Palindrom auch eine Primzahl ist, können nie mit 2, 4, 5, 6 oder 8 beginnen, weil das Palindrom dann teilbar wäre (durch 2 oder durch 5) und damit keine Primzahl wäre. Nur die erste und die dritte Primzahl der unendlichen Reihe von Primzahlen sind davon ausgenommen. Die Ausnahmen sind die Primzahlen 2 und 5. Deren Summe ist 7, deren Differenz ist 3 - Sie merken schon, worauf ich hinaus will.

Primzahlen bis 10.000 deren Palindrom eine Primzahl ist

• 2 und 2
• 3 und 3
• 5 und 5
• 7 und 7
• 11 und 11
• 13 und 31
• 17 und 71
• 37 und 73
• 79 und 97
• 101 und 101
• 113 und 311
• 149 und 941
• 151 und 151
• 157 und 751
• 167 und 761
• 179 und 971
• 199 und 991
• 359 und 953
• 373 und 373
• 383 und 383
• 389 und 983
• 709 und 907
• 739 und 937
• 797 und 797
• 919 und 919
• 929 und 929
• 1009 und 9001
• 1021 und 1201
• 1031 und 1301
• 1033 und 3301
• 1061 und 1601
• 1069 und 9601
• 1091 und 1901
• 1097 und 7901
• 1103 und 3011
• 1109 und 9011
• 1151 und 1511
• 1153 und 3511
• 1181 und 1811
• 1193 und 3911
• 1213 und 3121
• 1217 und 7121
• 1223 und 3221
• 1229 und 9221
• 1231 und 1321
• 1237 und 7321
• 1249 und 9421
• 1259 und 9521
• 1279 und 9721
• 1283 und 3821
• 1381 und 1831
• 1399 und 9931
• 1409 und 9041
• 1429 und 9241
• 1439 und 9341
• 1453 und 3541
• 1471 und 1741
• 1487 und 7841
• 1499 und 9941
• 1523 und 3251
• 1559 und 9551
• 1583 und 3851
• 1597 und 7951
• 1619 und 9161
• 1657 und 7561
• 1669 und 9661
• 1723 und 3271
• 1733 und 3371
• 1753 und 3571
• 1789 und 9871
• 1847 und 7481
• 1867 und 7681
• 1879 und 9781
• 1913 und 3191
• 1933 und 3391
• 1949 und 9491
• 1979 und 9791
• 3019 und 9103
• 3023 und 3203
• 3049 und 9403
• 3067 und 7603
• 3083 und 3803
• 3089 und 9803
• 3109 und 9013
• 3163 und 3613
• 3169 und 9613
• 3257 und 7523
• 3299 und 9923
• 3319 und 9133
• 3343 und 3433
• 3463 und 3643
• 3467 und 7643
• 3469 und 9643
• 3527 und 7253
• 3583 und 3853
• 3697 und 7963
• 3719 und 9173
• 3767 und 7673
• 3889 und 9883
• 3917 und 7193
• 3929 und 9293
• 7027 und 7207
• 7219 und 9127
• 7229 und 9227
• 7297 und 7927
• 7349 und 9437
• 7457 und 7547
• 7459 und 9547
• 7529 und 9257
• 7577 und 7757
• 7589 und 9857
• 7649 und 9467
• 7687 und 7867
• 7699 und 9967
• 7879 und 9787
• 7949 und 9497
• 9029 und 9209
• 9349 und 9439
• 9479 und 9749
• 9679 und 9769

Das sind alle Primzahlen bis 10.000, die ein Palindrom haben, das ebenfalls eine Primzahl ist. Einige davon sind ihr eigenes Palindrom wie etwa 11 oder 101 aber auch 929 oder 373. Dividiert man nun alle diese Paare jeweils so, dass die höhere der beiden Primzahlen durch die niedrigere der beiden Primzahlen dividiert wird, so ist die Paarung 73 und 37 mit dem Ergebnis 1,97297297297 von allen hier durchgeführen Divisionen am nächsten an der ersten Primzahl - zwei - dran. Alle anderen Divisionen der jeweiligen Palindrompaare ergeben eine höhere Differenz zu zwei als die der Paarung 73 und 37. Das macht dieses Paar zu einem Top-Star und der Primzahlen-Palindromen.

Die Differenz zur ersten Primzahl - der Zahl zwei - bei der Divison beträgt also 0,0270270270, alle Paare, die bei der Division einen Abstand von unter 0,09 ergeben, sind diese Divisionspaare der Primzahlen-Palindrome - es gibt hier genau fünf solche Paare und die geringste Differenz aller Rechnungen erreichen die Zahlen 73 und 37 miteinander, hier die fünf Plätze des Rankings:

1. Platz: 2 - ( 73 / 37 ) = 0,027027027
2. Platz: 2 - ( 7673 / 3767 ) = 0,0368993894
3. Platz: 2 - ( 3571 / 1753 ) = 0,0370792926
4. Platz: 2 - ( 3371 / 1733) = 0,0548182343
5. Platz: 2 - ( 7253 / 3527 ) = 0,0564218883

Es sind übrigens 115 solcher Primzahlen-Palindrom-Paare in den Primzahlen bis 10.000 zu finden. Von den 115 Primzahlen-Palindromen sind 11 Stück so, dass sie sich selbst ergeben, wenn man sie verkehrt liest. Also etwa 919 oder 373 oder 101 oder 11. Übrig bleiben 104 Palnidrom-Paare in den Primzahlen.

1) Sinn des Lebens: Der Computer Deep Thought wird im Roman "Per Anhalter durch die Galaxis" vorgestellt. Er beantwortet alle Fragen und wird dann gefragt "nach dem Leben, dem Universium und dem ganzen Rest" zu errechnen. Nach 7,5 Millionen Jahren spuckt der Computer dann die Antwort aus und sie lautet "Zweiundvierzig". Mehr dazu... im weltweiten Web. :-)

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